Come derivare la derivata del coseno
La derivata del coseno è per analogia conderivato del seno, la base della dimostrazione è la definizione del limite di una funzione. È possibile utilizzare un metodo diverso, utilizzando formule trigonometriche per ridurre gli angoli seno e sinusoidale. Esprimere una funzione attraverso un'altra - il coseno attraverso il seno e differenziare il seno con un argomento complesso.
Considera il primo esempio della derivazione della formula (Cos (x)) "
Diamo un incremento infinitesimale Δx all'argomento x della funzione y = Cos (x). Con il nuovo valore dell'argomento x + Δx, otteniamo un nuovo valore della funzione Cos (x + Δx). Quindi l'incremento della funzione Δy sarà Cos (x + Δx) -Cos (x).
Il rapporto tra l'incremento della funzione e Δx sarà il seguente: (Cos (x + Ax) -COS (x)) / Dh. Eseguiamo le trasformazioni identiche nel numeratore della frazione risultante. Richiamo formula coseni differenza, il risultato è un -2Sin lavoro (Dh / 2) moltiplicato per sin (x + Dh / 2). Troviamo il limite lim privato questo prodotto da Dh quando Dh tende a zero. E 'noto che il primo (chiamato notevole) lim limite (Sin (Dh / 2) / (Dh / 2)) è uguale a 1, e limitare -sin (x + Dh / 2) è uguale -sin (x) quando Ax, tende a zero.
Scrivi il risultato: la derivata (Cos (x)) "è uguale a - Sin (x).
Ad alcune persone piace il secondo modo di derivare la stessa formula
Dal corso della trigonometria è noto: Cos (x) è uguale a Sin (0,5 · Π-x), analogamente a Sin (x) è Cos (0,5 · Π-x). Quindi differenziamo la funzione composita - il seno dell'angolo addizionale (invece del coseno x).
Otteniamo il prodotto Cos (0,5 · Π-x) · (0,5 · Π-x),perché la derivata del seno x è uguale al coseno di x. Passando alla seconda formula Sin (x) = Cos (0.5 · Π-x) del coseno a seno, teniamo conto che (0.5 · Π-x) "= -1. Ora otteniamo -Sin (x).
Quindi, abbiamo trovato la derivata del coseno, y "= -Sin (x) per la funzione y = Cos (x).
Derivato coseno quadrato
Esempio spesso usato, in cui viene utilizzata la derivata del coseno. La funzione y = Cos2(x) è complesso. Per prima cosa troviamo il differenziale di una funzione di potenza con esponente 2, questo sarà 2 · Cos (x), quindi moltiplicato per la derivata (Cos (x)) ", che è -Sin (x). Riceviamo y" = -2 · Cos (x) · Sin (x). Quando applichiamo la formula Sin (2 · x), il seno del doppio angolo, otteniamo l'ultima semplificazione
rispondi y "= -Sin (2 · x)
Funzioni iperboliche
Applicato nello studio di molti tecnicidiscipline in matematica, per esempio, facilitano calcolare integrali, soluzione di equazioni differenziali. Essi sono espressi in termini di funzioni trigonometriche con argomenti immaginari, così iperbolico coseno ch (x) = cos (i · x) dove i - è un'unità immaginaria, iperbolico seno sh (x) = sin (x · i).
Considera la funzione y = (ex+ e-x) / 2, questo è il coseno iperbolico di ch (x). Usiamo la regola di trovare la derivata della somma di due espressioni, la regola per eseguire un fattore costante (Const) dietro il segno della derivata. Il secondo termine 0,5 · e-x È una funzione complessa (la sua derivata è -0.5 · e-x), 0,5 · exÈ il primo termine (ch (x)) "= ((ex+ e-x) / 2) "può essere scritto diversamente: (0.5 · ex+ 0,5 · e-x) "= 0,5 · ex-0,5 · e-x, perché la derivata (e-x) "è -1, moltiplicato per e-x. Il risultato è una differenza, e questo è il seno iperbolico di sh (x).
Conclusione: (ch (x)) "= sh (x).
Consideriamo l'esempio di come calcolare la derivata della funzione y = ch (x31).
Secondo la regola per differenziare un coseno iperbolico con un argomento complesso y "= sh (x3+1) · (x3+1) ", dove (x3+1) "= 3 · x2+0.
Risposta: la derivata di questa funzione è 3 · x2· Sh (x31).
Le derivate delle funzioni y = ch (x) ey = Cos (x) sono tabulari
Quando si risolvono gli esempi non è necessario differenziarli ogni volta in base allo schema proposto, è sufficiente utilizzare la derivazione.
Un esempio Differenziare la funzione y = Cos (x) + Cos2(-x) -Ch (5x).
È facile calcolare (utilizzare i dati della tabella), y "= -Sin (x) + Sin (2 · x) -5 · Sh (5 · x).
